દસની ઘાત, ગણિતમાં, સંખ્યા 10ના કોઈપણ પૂર્ણાંક (સંપૂર્ણ-મૂલ્યવાળું) ઘાતાંક. 10 ની ઘાત એ ઘાતાંક દ્વારા એકસાથે ગુણાકાર કરવામાં આવે તેટલી સંખ્યા 10 છે. તેથી, લાંબા-સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે, દસની ઘાત એ n શૂન્યની અનુગામી સંખ્યા 1 છે, જેમાં ‘n’ ઘાતાંક છે અને 0 કરતા વધારે છે; ઉદાહરણ તરીકે, 106 ગાણિતિક રીતે 1,000,000 તરીકે લખાયેલ છે. જ્યારે n 0 કરતાં ઓછું હોય, ત્યારે 10 ની ઘાત એ સંખ્યા 1 n હોય છે જે દશાંશ બિંદુ દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, 10−3 ને 0.001 લખવામાં આવે છે.

10 થી શૂન્યની શક્તિ

જ્યારે n 0 ની બરાબર થાય, ત્યારે 10 ની શક્તિ 1 હશે; એટલે કે, 100 = 1. 10 ની હકારાત્મક અને નકારાત્મક શક્તિઓમાં અભિવ્યક્તિ માટે નીચેના કોષ્ટકનો સંદર્ભ લો.

10 ની સત્તા

101 = 10	100 = 1
102 = 100	10-1 = 0.1
103 = 1000	10-2 = 0.01
104 = 10,000	10-3 = 0.001
105 = 100,000 (એક લાખ)	10-4 = 0.0001 (એક દસ હજારમો)
106 = 1,000,000 (દસ લાખ)	10-5 = 0.00001 (એક લાખમાં)
107 = 10,000,000 (દસ મિલિયન)	10-6 = 0.000001 (દસ લાખમો)
108 = 100,000,000 (એકસો મિલિયન)	10-7 = 0.0000001 (એક દસ લાખમો)
109 = 1,000,000,000 (એક અબજ)	10-8 = 0.00000001 (સો મિલિયનમો)
1010 (10 થી દસમી ઘાત) = 10,000,000,000 (દસ અબજ)	10-9 = 0.000000001 (એક અબજમો)

10 ની શક્તિઓનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર

કદાચ તમને ખાતરી ન હોય કે દસ ગણિત અથવા મેગા 10 શક્તિઓની શક્તિઓમાં સંખ્યાઓ લખવામાં સક્ષમ થવું ઉપયોગી છે. સારું, ગણિતની ગણતરીઓ કરતી વખતે દસ ગણિતની શક્તિઓ ખૂબ મદદરૂપ થાય છે. ચાલો કહીએ કે જો અમે તમને પૂછીએ “10 ગુણ્યા 1,000 શું છે?” ભાગ્યે જ કંઈ- તે માત્ર 10,000 છે. પરંતુ જો આપણે પૂછીએ કે “એક ટ્રિલિયન ગુણ્યા એક ક્વાડ્રિલિયન શું થશે?”

તે તારણ આપે છે કે ખરેખર મોટી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર દસની શક્તિ સાથે સરળ છે. તમારે ફક્ત ઘાતાંક ઉમેરવાની જરૂર છે, અને તમે સૉર્ટ થઈ ગયા છો. ચાલો આપણે હમણાં જ ઉપર ટાંકેલા ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ. એક ટ્રિલિયન ગુણ્યા એક ક્વાડ્રિલિયન શું છે? પ્રથમ, એક ટ્રિલિયન 1012 છે, અને એક ક્વાડ્રિલિયન 1015 છે. તેથી સાચો જવાબ 1027 છે, જે એક વિશાળ સંખ્યા છે. હવે, તમે જોઈ શકો છો કે લગભગ તરત જ, કેલ્ક્યુલેટરની આવશ્યકતા વિના, અમે તેને ટૂંકું લખેલું કર્યું.

દસ ઉપસર્ગોની શક્તિ

જ્યારે સંખ્યાત્મક આંકડો ગણતરીને બદલે જથ્થાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, ત્યારે SI ઉપસર્ગનો ઉપયોગ કરી શકાય છે — તેથી «ફેમટોસેકન્ડ», «એક સેકન્ડનો એક ચતુર્થાંશ ભાગ» નહીં — જો કે મોટાભાગે 10 ની શક્તિઓ ઘણી ઓછી અને ખૂબ ઊંચી હોય છે. ઉપસર્ગ અમુક કિસ્સાઓમાં, વિશિષ્ટ એકમોની મદદ લેવામાં આવે છે, જેમ કે પ્રકાશ-વર્ષના કણ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓનું કોઠાર અથવા ખગોળશાસ્ત્રીનું પાર્સેક.

તેમ છતાં, મોટી સંખ્યાઓ બૌદ્ધિક ષડયંત્ર ધરાવે છે અને તે ગાણિતિક રસ ધરાવે છે, અને તેમને નામ સોંપવું એ એક રીત છે જેમાં આપણામાંથી મોટાભાગના લોકો તેમને ખ્યાલ અને સમજવાનો પ્રયાસ કરે છે.

ઉકેલેલ ઉદાહરણો

નીચેના અભિવ્યક્તિઓ ઉકેલો:

લોગ (106) = 6

લોગ (1027) = 27

લોગ (10365.2748) = 365.2748

લોગ (10-5) = -5

લોગ (x) -5 → x = 105

લોગ (x) = 6.789 → x = 106.789

લોગ (x) = -2.23 → x = 10-2.23

મનોરંજક હકીકતો

• 10 ની શક્તિ યાદ રાખવી સરળ છે કારણ કે આપણે સંખ્યા સિસ્ટમના આધાર 10 નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

• 10n માટે ‘n’ સકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય, તેના પછી n શૂન્ય સાથે ફક્ત «1» લખો. નકારાત્મક શક્તિઓ 10−n માટે, “0″ પછી n−1 શૂન્ય લખો અને પછી 1. 10 ની શક્તિઓ વૈજ્ઞાનિક સંકેતોમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

10 ની શક્તિ

ચાલો એક સંખ્યા 10 લઈએ. આપણે બે 10 લઈ શકીએ છીએ અને તેનો એકસાથે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, જેનો અર્થ થાય છે 10 ગુણ્યા 10, જે તમે જાણો છો કે 100 બરાબર છે. આપણે ત્રણ 10 પણ લઈ શકીએ છીએ અને તેનો એકસાથે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, 10 ગુણ્યા 10 ગુણ્યા 10 જે બરાબર છે. એક હજાર. અને આપણે આ 10ની કોઈપણ સંખ્યા સાથે કરી શકીએ છીએ. પરંતુ અમુક સમયે, જો આપણે પૂરતા 10 સે સાથે આ કરીએ, તો તે આપણા માટે લખવું ખૂબ મુશ્કેલ બનશે. તો ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો કહીએ કે મારે આ દસ 10 સે સાથે કરવાનું હતું, તેથી જો મારે 10 ગુણ્યા 10 જવું હોય તો આ રીતે : 10×10×10×10×10×10×10×10×10. આ તે સંખ્યાની બરાબર હશે જે બરાબર છે, લખવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. તે એક હશે જે દસ શૂન્ય દ્વારા અનુસરવામાં આવશે. આ 10 અબજ હશે. અને તે લખવું પહેલેથી જ મુશ્કેલ બની રહ્યું છે. અને કલ્પના કરો કે જો તમારી પાસે ત્રીસ 10 છે જેનો આપણે એકસાથે ગુણાકાર કરી રહ્યા છીએ, તો આ રીતે ગણતરી કરવી અથવા લખવું ખૂબ મુશ્કેલ હશે.

ગણિતશાસ્ત્રીઓ આના જેવી વસ્તુઓને થોડી વધુ સુંદર રીતે લખી શકે તે માટે કેટલાક સંકેતો અને કેટલાક વિચારો સાથે આવ્યા છે. તેથી તેઓ જે રીતે આ કરે છે તે કંઈક દ્વારા છે જે ઘાતાંક તરીકે ઓળખાય છે. અને તેથી 10 ગુણ્યા 10, આપણે બરાબર તરીકે ફરીથી લખી શકીએ, જો મારી પાસે બે 10 હોય અને હું તેનો એકસાથે ગુણાકાર કરું, તો હું તેને બીજી ઘાત 10 તરીકે લખી શકું. આ રીતે આપણે તેને 10 થી ઘાત 2 તરીકે ઉચ્ચાર કરી શકીએ છીએ. તે એકદમ ફેન્સી લાગે છે પરંતુ તેનો અર્થ એ છે કે ચાલો બે 10 લઈએ અને તેનો એકસાથે ગુણાકાર કરીએ અને આપણને સો મળશે. આમાં, બે ઘાતાંક તરીકે ઓળખાશે અને 10 આધાર હશે. તેથી આખરે, 10 ગુણ્યા 10 ની 10 ની બીજી ઘાત બરાબર સો.

તો તમે 10 ગુણ્યા 10 ગુણ્યા 10 અથવા 10000 કેવી રીતે લખશો? ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીને તમે તેને કેવી રીતે લખશો ? આપણે 10ની ત્રણ સંખ્યાઓ લઈ રહ્યા છીએ અને તેમને એકસાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ, આ 10 ની ત્રીજી ઘાત હશે. અહીં, દસ એ આધાર છે અને ત્રણ ઘાતાંક છે. આપણે આને 10 થી ત્રીજા ઘાત તરીકે વાંચીશું. જો તમે ક્યારેય 10 થી ત્રીજી ઘાત જોશો, તો તેનો અર્થ એ કે આપણે 10 ગુણ્યા 10 ગુણ્યા 10 નો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ જે એક હજાર જેટલી જ વસ્તુ છે. તો આ 1000 લખવાની બીજી રીત છે.

ગણિતમાં દસની શક્તિને દસ વડે ગુણાકારની સંખ્યાની કોઈપણ પૂર્ણાંક શક્તિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેને બીજી રીતે કહીએ તો, આપણે પોતાનામાં દસ ઉમેરીએ છીએ, ચોક્કસ સંખ્યા (જ્યારે પાવર ધન પૂર્ણાંક હોય છે). ઉપરાંત, નંબર 1 એ તેની વ્યાખ્યામાં દસની શક્તિ (ઝીરોથ પાવર) છે. આ લેખમાં, તમે દસની શક્તિ, તેના તથ્યો, દસની શક્તિમાં સંખ્યાઓનું રૂપાંતર અને 10ની શક્તિને લગતા વૈજ્ઞાનિક સંકેતો સમજી શકશો. તો, ચાલો આવતા વિભાગમાં દસની શક્તિને સમજીને શરૂઆત કરીએ.

દસની શક્તિ

ગણિતમાં, 10 ની શક્તિ એ 10 ની સંખ્યાની કોઈપણ પૂર્ણ-મૂલ્ય (પૂર્ણાંક) શક્તિ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, 10 ની શક્તિ જણાવે છે કે 10 એ પોતાની જાતમાં n વખત ગુણાકાર કરે છે (જ્યારે શક્તિ કોઈપણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય છે). તેથી, લાંબા-સ્વરૂપમાં 10 પાવર એ નંબર 1 છે અને ત્યારબાદ n શૂન્ય આવે છે જ્યાં n એ 0 કરતા મોટી સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, 10⁷ 1,00,00,000 તરીકે લખવામાં આવે છે.

જ્યારે n એ સંખ્યા છે જે 0 કરતા નાની હોય છે, ત્યારે છેદમાં મૂળ મૂલ્યને 10 ‘n’ વખત ગુણાકાર કરીને અને અંશમાં 1 મૂકીને 10 ઘાત મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 10⁻³ તરીકે લખાયેલ છે

\[\frac{1}{10*10*10}\] = 0.001

જ્યારે n બરાબર 0 હોય, ત્યારે 10 ની ઘાત 1 ની બરાબર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 10⁰ = 1.

10 ગણિતની શક્તિ વિગતવાર જાણવા માટે નીચે વાંચો.

(છબી ટૂંક સમયમાં અપલોડ કરવામાં આવશે)

10 ગણિતની શક્તિમાં સંખ્યાઓને કેવી રીતે કન્વર્ટ કરવી?

કોઈપણ સંખ્યાને દસ ગણિતની શક્તિમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, બે મૂળભૂત નિયમોનું પાલન કરવામાં આવે છે.

1. જો સંખ્યા દશાંશ સંકેતમાં આપવામાં આવી હોય, તો દશાંશ બિંદુને તેની મૂળ સ્થિતિની જમણી બાજુએ ખસેડો અને પ્રથમ બિન-શૂન્ય અંકો પછી દશાંશ બિંદુ મૂકો. પાવર દસ એ મૂળ દશાંશ બિંદુને ખસેડવામાં આવેલ સ્થાનોની સંખ્યા હશે અને તે નકારાત્મક હશે કારણ કે તે જમણી બાજુએ ખસેડવામાં આવી હતી.

ઉદાહરણ:  0.0000732 = 7.32 x 10⁻⁵

2. જો 10 કરતા મોટી સંખ્યાને 10 ગણિતની ઘાતમાં બદલવાની હોય, તો દશાંશ બિંદુને તેની મૂળ સ્થિતિની ડાબી બાજુએ ખસેડો અને પ્રથમ અંક પછી દશાંશ બિંદુ મૂકો. 10 ની શક્તિ એ સ્થાનોની સંખ્યા હશે જે મૂળ દશાંશ બિંદુને ખસેડવામાં આવી હતી અને તે હકારાત્મક હશે કારણ કે તે ડાબી બાજુએ ખસેડવામાં આવી હતી.

ઉદાહરણ: 145,000 = 1.45 x 10⁵

10 ગણિતની હકારાત્મક શક્તિ દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર

1. સંખ્યાને 10 ની ઘાત વડે ગુણાકાર કરતી વખતે, આપણે 10 ની દરેક ઘાત માટે દશાંશ બિંદુઓને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ.

ઉદાહરણ:

62.54 x 10¹ = 625.4

અહીં, દશાંશ બિંદુ એક સ્થાન દ્વારા જમણી બાજુએ ખસેડવામાં આવે છે.

62.54 x 10² = 6254.

અહીં, દશાંશ બિંદુ એક સ્થાન દ્વારા જમણી બાજુએ ખસેડવામાં આવે છે.

2. સંખ્યાને 10 ની ઘાત વડે ભાગતી વખતે, આપણે 10 ની દરેક ઘાત માટે દશાંશ બિંદુઓને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ છીએ.

62.54 ÷ 10¹ = 6.254

અહીં, દશાંશ બિંદુ એક સ્થાને ડાબી બાજુએ ખસેડવામાં આવે છે.

62.54 ÷ 10² = 0. 6254.

અહીં, દશાંશ બિંદુ બે સ્થાને ડાબી બાજુએ ખસેડવામાં આવે છે.

10 ની નકારાત્મક શક્તિ દ્વારા ગુણાકાર

નેગેટિવ પાવર જણાવે છે કે આધાર નંબરને કેટલી વાર વિભાજીત કરવો. જ્યારે સંખ્યાને 10 ની નકારાત્મક શક્તિથી ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે 10 ની દરેક ઘાત માટે દશાંશ બિંદુઓને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ છીએ.

ઉદાહરણ:

6 x 10⁻³ = 6 x 1/10 x 1/10 x 1/10 = 6/1000 = 6 x 0.001 = 0.006

6.1 x 10⁻³ = 6.1 x 1/10 x 1/10 x 1/10 = 6.1/1000 = 6.1 x 0.001 = 0.0061

10 ગણિતની શક્તિ અંગે વૈજ્ઞાનિક સંકેત

વૈજ્ઞાનિક સંકેત, જેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તેને તેનું નામ આપવામાં આવ્યું હતું કારણ કે તેનો ઉપયોગ વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા અત્યંત નાની અને મોટી સંખ્યાને રજૂ કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ઘાત એ બીજી સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરેલ 10 ની શક્તિનો સંદર્ભ આપે છે. વધુમાં, અમે તેમને હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને સ્વરૂપોમાં શોધી શકીએ છીએ.

વધુમાં, હકારાત્મક સ્વરૂપ ગુણાકાર સૂચવે છે, જ્યારે નકારાત્મક સ્વરૂપ ભાગાકારને દર્શાવે છે. દસનો ઇન્ડેક્સ સૂચવે છે કે નોટેશનમાં દશાંશ બિંદુઓને કેટલી જગ્યાએ જમણી તરફ ખસેડવા જોઈએ.

વૈજ્ઞાનિક સંકેતમાં, સંખ્યાઓ ax 10ⁿ ના સ્વરૂપમાં રજૂ થાય છે, જ્યાં ચલ a એ 1 ≤ a < 10ⁿ સાથે દશાંશ છે, અને n એ પૂર્ણાંક છે.

આ સમજવા માટે, 1.35 ને 10 વડે ચોથી ઘાત સાથે ગુણાકાર કરો. વૈકલ્પિક રીતે, 1.35×10⁴.

પછી તમે 13,500 જવાબ મેળવવા માટે 1.35 x (10 x 10 x 10 x 10), અથવા 1.35 x 10,000 દ્વારા ગણતરી કરી શકો છો. હવે, જો આપણે ચાર જગ્યાએ દશાંશ સ્થાનને 1.35 પર શિફ્ટ કરીએ, તો આપણને 13,500 મળશે.

ઉદાહરણ:

વૈજ્ઞાનિક સંકેતોમાં એવોગાડ્રોનો નંબર અંદાજે 6.022141793 x 10²³ તરીકે લખાયેલ છે. અહીં a દશાંશ 6.022141793 છે અને n એ ઘાતાંક 23 છે.

યાદ રાખવાની હકીકતો

• 10⁴ જેવા ધન ઘાતાંક સાથેની ઘાત 10 નો અર્થ છે કે દશાંશ બિંદુ ડાબી તરફ ખસેડવામાં આવે છે.

• ઘાત 10 ને ઋણ ઘાતાંક સાથે જેમ કે 10⁴, એટલે કે દશાંશ બિંદુ જમણી તરફ ખસેડવામાં આવે છે.

ઉકેલાયેલ ઉદાહરણ

1. 2.35 x 10⁴ શું છે?

ઉકેલ:

2.35 x 10⁴ ની ગણતરી 2.35 x (10 x 10 x 10 x 10) = 2.35 x 10000 તરીકે કરી શકાય છે

સંખ્યાને 10 ની ઘાત વડે ગુણાકાર કરતી વખતે, આપણે 10 ની દરેક ઘાત માટે દશાંશ બિંદુઓને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ.

તદનુસાર,

2.35 x 10000 = 2,35,000

2. તમે વૈજ્ઞાનિક નોટેશનમાં 0.0002 કેવી રીતે લખો છો?

ઉકેલ:

નિયમ મુજબ, 0.0002 ને વૈજ્ઞાનિક સંકેતમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, આપણે દશાંશ બિંદુને તેની મૂળ સ્થિતિની જમણી બાજુએ ખસેડીશું અને પ્રથમ બિન-શૂન્ય અંક પછી દશાંશ બિંદુ મૂકીશું. પાવર ટેન એ સ્થાનોની સંખ્યા હશે જે નકારાત્મક હશે કારણ કે તેને જમણી બાજુએ ખસેડવામાં આવી હતી.

તેથી, 0.0002 માટે વૈજ્ઞાનિક સંકેત 2 x 10⁻⁴ છે

3. શું તમે સેમને સ્ટાન્ડર્ડ નોટેશનમાં 9.56 x 10¹¹ લખવામાં મદદ કરી શકો છો?

ઉકેલ:

અહીં 9.56 956 છે. હવે, સેમ દશાંશ બિંદુ 11 સ્થાનોને જમણી બાજુએ ખસેડશે અને તે મુજબ પાછળના શૂન્ય ઉમેરશે.

તેથી, 9.56 x 10¹¹ માટે પ્રમાણભૂત સંકેત 956,000,000, 000 છે.

4. 3,00,00,00,000 અથવા 300 કરોડનું નોટેશન ફોર્મ શું છે?

a 3 × 10⁹

b 3 × 10⁸

c 3 × 10¹⁰

ડી. 3 × 10¹¹

ઉકેલ: જવાબ છે વિકલ્પ a- 3 × 10⁹

કારણ કે, 3 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 3,00,00,00,000.

5. 10 ને 10 ની ઘાત કેવી રીતે વ્યક્ત કરવી?

ઉકેલ: 10 ની ઘાત 10 શોધવા માટે, આપણે તેને ઘાત સ્વરૂપમાં 1010 તરીકે લખી શકીએ, જ્યાં 10 એ આધાર છે અને 10 એ પણ ઘાત છે.

તેનો અર્થ 10 ને 10 વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

તેથી, 1010 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000,000,000.

આથી, 10 ની ઘાત 1010 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000,000,000 તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે.

નિષ્કર્ષ

સતત અને વ્યાપક વૃદ્ધિનો વિચાર ખૂબ જ સરળ, વધુ સારી રીતે શીખવા માટેનો છે. તેમાં શું મદદ કરે છે, તમે પૂછી શકો છો? ગાણિતિક રકમનો નિયમિત અભ્યાસ કરવાથી હકીકતો યાદ રાખવામાં અને શીખવાની વધુ સારી ટેવ કેળવવામાં મદદ મળે છે.
જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે અને $x$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, તો $x^n$ પુનરાવર્તિત ગુણાકારને અનુલક્ષે છે
\begin{gather*}
x^n = \underbrace{x \times x \times \cdots \times x}_{n \text{ times}}.
\end{gather*}
અમે આને “$x$ ને $n$ ની શક્તિ સુધી વધારી,” “$x$ ને $n$ ની શક્તિ” અથવા ફક્ત “$x$ ને $n$” કહી શકીએ. અહીં, $x$ એ આધાર છે અને $n$ એ ઘાત અથવા શક્તિ છે .
આ વ્યાખ્યા પરથી, અમે કેટલાક મૂળભૂત નિયમોનું અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે જે ઘાતીકરણનું પાલન કરવું જોઈએ તેમજ કેટલાક હાથ વિશેષ કેસો જે નિયમોનું પાલન કરે છે. પ્રક્રિયામાં, અમે ઘાતાંક $a$ માટે $x^a$ વ્યાખ્યાયિત કરીશું જે હકારાત્મક પૂર્ણાંકો નથી.
નીચેના કોષ્ટકમાં નિયમો અને વિશેષ કેસોનો સારાંશ આપવામાં આવ્યો છે. નીચે, અમે દરેક માટે વિગતો આપીએ છીએ.

નિયમ અથવા વિશેષ કેસ	ફોર્મ્યુલા	ઉદાહરણ
ઉત્પાદન	$x^ax^b = x^{a+b}$	$2^22^3 = 2^5=32$
અવશેષ	$\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{ab}$	$\displaystyle \frac{2^3}{2^2} = 2^1 =2$
સત્તા શક્તિ	$(x^a)^b = x^{ab}$	$(2^3)^2 = 2^6=64$
ઉત્પાદનની શક્તિ	$(xy)^a = x^ay^a$	$36=6^2=(2\cdotbadbreak 3)^2 = 2^2\cdotbadbreak 3^2=4 \cdotbadbreak 9=36$
એકની શક્તિ	$x^1=x$	$2^1=2$
શૂન્યની શક્તિ	$x^0=1$	$2^0=1$
નકારાત્મક એકની શક્તિ	$\displaystyle x^{-1}=\frac{1}{x}$	$\displaystyle 2^{-1}=\frac{1}{2}$
ઘાતાંકનું ચિહ્ન બદલો	$\displaystyle x^{-a} = \frac{1}{x^a}$	$\displaystyle 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
અપૂર્ણાંક ઘાતાંક	$x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$	$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3=2^3=8$

નિયમો

સમાન આધાર સાથે ઘાતાંકીયનું ઉત્પાદન

જો આપણે એક જ આધાર સાથે બે ઘાતાંકનો ગુણાંક લઈએ, તો આપણે ફક્ત ઘાતાંક ઉમેરીશું:
\begin{gather}
x^ax^b = x^{a+b}.
\label{ઉત્પાદન}
\end{ગેધર}
આ નિયમ જોવા માટે, અમે ફક્ત ઘાતાંકનો અર્થ શું છે તે વિસ્તારીએ છીએ. ચાલો થોડા સરળ ઉદાહરણો સાથે શરૂઆત કરીએ.
\begin{align*}
3^4 3^2 &= (3 \times 3 \times 3 \times 3) \times (3 \times 3)\\
&= 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\\
&= 3^6
\end{align*}
\begin{align*}
y^2 y^3 &= (y \times y) \times (y \times y \times y)\\
&= y \times y \times y \times y \times y\\
& = y^5
\end{align*}
સામાન્ય કેસ એ જ રીતે કામ કરે છે. આપણે ફક્ત આપણી પાસે રહેલા પરિબળોની સંખ્યા પર નજર રાખવાની જરૂર છે.
\begin{align*}
x^ax^b &= \underbrace{x \times \cdots \times x}_{a \text{ times}} \times
\underbrace{x \times \cdots \times x}_{ b \text{ times}}\\[0.2cm]
&= \underbrace{x \times \cdots \times x}_{a+b \text{ times}}\\[0.2cm]
&=x^{a +b}
\end{align*}

સમાન આધાર સાથે ઘાતાંકીયનો ભાગ

જો આપણે સમાન આધાર સાથે બે ઘાતાંકનો ભાગ લઈએ, તો આપણે ખાલી ઘાત બાદબાકી કરીએ:
\begin{gather}
\frac{x^a}{x^b} = x^{ab}
\label{quotient}
\end{ ભેગા}
$\રદ કરો{}$
આ નિયમ અંશ અને છેદમાં સામાન્ય પરિબળોને રદ કરવાથી પરિણમે છે. ઉદાહરણ તરીકે:
\begin{align*}
\frac{y^5}{y^3} &= \frac{y \times y \times y \times y \times y}{y \times y \times y}\ \
&= \frac{(y \times y) \times \cancel{(y \times y \times y)}}{\cancel{y \times y \times y}}\\
&= y \times y = y^2.
\end{align*}
આને સામાન્ય રીતે બતાવવા માટે, અમે બે અલગ અલગ કિસ્સાઓ જોઈએ છીએ. જો આપણે કલ્પના કરીએ કે $a > b$, તો આ નિયમ $x$ ના સામાન્ય $b$ પરિબળોને રદ કરવાથી અનુસરે છે જે અંશ અને છેદ બંનેમાં થાય છે. અમારી પાસે અંશમાં $x$ ના માત્ર $ba$ અવયવ બાકી છે.
\begin{align*}
\frac{x^a}{x^b} &= \frac{\quad \overbrace{x \times \cdots \times x}^{a \text{ times}}\quad}{ \underbrace{x \times \cdots \times x}_{b \text{ times}}}\\[0.2cm]
&= \frac{\quad \overbrace{x \times \cdots \times x}^{ab \text{ times}}\times\overbrace{\cancel{x \times \cdots \times x}}^{b \text{ times}}\quad}{\underbrace{\cancel{x \times \cdots \times x}}_{b \text{ times}}}\\[0.2cm]
&= \underbrace{x \times \cdots \times x}_{ab \text{ times}}\\[0.2cm]
&= x^{ab}
\end{align*}
જો $a < b$, તો શું થાય? અમે અંશમાંથી તમામ $x$ રદ કરીએ છીએ અને તેમાંથી $ba$ છેદમાં બાકી છે.
\begin{align*}
\frac{x^a}{x^b} &= \frac{\quad \overbrace{x \times \cdots \times x}^{a \text{ times}}\quad}{ \underbrace{x \times \cdots \times x}_{b \text{ times}}}\\[0.2cm]
&= \frac{\quad \overbrace{\cancel{x \times \cdots \times x} }^{a \text{ times}}\quad}{\underbrace{x \times \cdots \times x}_{ba \text{ times}}\times \underbrace{\cancel{x \times \cdots \times x}}_{a \text{ times}}}\\[0.2cm]
&= \frac{1}{\underbrace{x \times \cdots \times x}_{ba \text{ times}}}\ \[0.2cm]
\end{align*}
આ કિસ્સામાં ઉપરોક્ત નિયમ કામ કરવા માટે, આપણે છેદમાં ઘાતનો અર્થ કરવા માટે નકારાત્મક ઘાતાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવું જોઈએ. જો $n$ હકારાત્મક પૂર્ણાંક હોય, તો અમે
\begin{gather}
x^{-n} = \frac{1}{\underbrace{x \times x \times \cdots \times x__{n \text{ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ વખત}}}.
\end{gather} પછી $a< b$: \begin{align*} \frac{x^a}{x^b} &= \frac{\quad \underbrace{
હોવા છતાં પણ ઘાતાંકના ભાગ માટેનો નિયમ કામ કરે છે. x \times \cdots \times x}_{a \text{ times}}\quad}{\underbrace{x \times \cdots \times x}_{b \text{ times}}}\\[0.2cm] &= \frac{1}{\underbrace{x \times \cdots \times x}_{ba \text{ times}}}\\[0.2cm] &=x^{ab}. \end{align*} જ્યારે $b>a$, ઘાતાંક $ab$ એ ઋણ સંખ્યા છે. ફોર્મ્યુલા \eqref{quotient} સમાન હોવાથી $a$ અને $b$ વચ્ચેના સંબંધને કોઈ વાંધો નથી, આપણે તેના વિશે ચિંતા કરવાની જરૂર નથી અને માત્ર ઘાતાંક બાદ કરી શકીએ છીએ.

શક્તિની શક્તિ

આપણે બીજી શક્તિ માટે ઘાતાંકીય વધારો કરી શકીએ છીએ, અથવા શક્તિની શક્તિ લઈ શકીએ છીએ. પરિણામ એ એકલ ઘાતાંકીય છે જ્યાં પાવર મૂળ ઘાતાંકનું ઉત્પાદન છે:
\begin{gather}
(x^a)^b = x^{ab}.
\label{power_power}
\end{gather}
અમે આ પરિણામને ઉત્પાદન તરીકે લખીને જોઈ શકીએ છીએ જ્યાં $x^a$ $b$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે:
\begin{gather*}
(x^a)^b = \underbrace{x^a \times x^a \times \cdots \times x^a}_{b\text{ times}}.
\end{gather*}
આગળ આપણે સમાન આધાર સાથે ઘાતાંકીયના ઉત્પાદન માટે નિયમ \eqref{product} લાગુ કરીએ છીએ. અમે આ નિયમનો $b$ વખત ઉપયોગ કરીએ છીએ તે તારણ માટે કે
\begin{align*}
(x^a)^b &= \underbrace{x^a \times x^a \times \cdots \times x^a}_{b \text{ times}}\\[0.2cm]
&= x^{\overbrace{a + a + \cdots + a}^{b\text{ times}}}\\[0.2cm]
&= x^{ ab}
\end{align*}
છેલ્લા પગલામાં, આપણે યાદ રાખવાનું હતું કે ગુણાકારને પુનરાવર્તિત ઉમેરા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

ઉત્પાદનની શક્તિ

જો આપણે ઉત્પાદનની શક્તિ લઈએ, તો આપણે ઘાતાંકને વિવિધ પરિબળો પર વિતરિત કરી શકીએ છીએ:
\begin{gather}
(xy)^a = x^ay^a.
\label{power_product}
\end{gather}
અમે આ નિયમને તે જ રીતે બતાવી શકીએ છીએ જે રીતે અમે બતાવીએ છીએ કે તમે સરવાળા પર ગુણાકારનું વિતરણ કરી શકો છો. ગુણાકાર માટે આ વિતરણ કાયદો બતાવવાની એક રીત એ યાદ રાખવું છે કે ગુણાકારને પુનરાવર્તિત ઉમેરા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
\begin{align*}
(x+y)a &= \underbrace{(x + y) + (x+y) + \cdots + (x+y)}_{a\text{ times}}\\[0.2cm]
&= \underbrace{x + x + \cdots + x}_{a\text{ times}}+\underbrace {y+ y + \cdots + y}_{a\text{ times}}\\[0.2cm]\\
&= xa +ya.
\end{align*}
એ જ રીતે, અમે ઘાતીકરણ માટે વિતરક કાયદો બતાવી શકીએ છીએ:
\begin{align*}
(xy)^a &= \underbrace{(xy) \times (xy) \times \cdots \times (xy)__{a\text{ times}}\\[0.2cm]
&= \underbrace{x \times x \times \cdots \times x}_{a\text{ times}}\times\underbrace{ y \times y \times \cdots \times y}_{a\text{ times}}\\[0.2cm]\\
&= x^ay^a.
\end{align*}
આ નિયમ ભાગાંક માટે પણ કામ કરે છે
\begin{gather*}
\left(\frac{x}{y}\right)^a = \frac{x^a}{y^a},
\end{gather*}
પરંતુ તે રકમ માટે કામ કરતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે,
\begin{align*}
(3+5)^2 = 8^2 = 64,
\end{align*}
પરંતુ આ
\begin{align*}
3^2+5^2 = 9 ની બરાબર નથી + 25 = 34.
\end{align*}

ખાસ કેસો

નીચેના ખાસ કિસ્સાઓ છે જે નિયમોનું પાલન કરે છે.

એકની શક્તિ

સૌથી સરળ વિશિષ્ટ કેસ એ છે કે કોઈપણ સંખ્યાને 1 ની ઘાત સુધી વધારવાથી કંઈ થતું નથી:
\begin
{gather} x^1=x.\label{power_one}
\end{gather}

શૂન્યની શક્તિ

જ્યાં સુધી $x$ શૂન્ય ન હોય ત્યાં સુધી, તેને શૂન્યની શક્તિમાં વધારવું 1 હોવું જોઈએ:
$$x^0=1.$$
આપણે આને જોઈ શકીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, ભાગના નિયમમાંથી,
$$1 = \ તરીકે frac{x^a}{x^a} = x^{aa}=x^0.$$
$0^0$ અભિવ્યક્તિ અનિશ્ચિત છે. તમે જોઈ શકો છો કે તે અનિશ્ચિત હોવું જોઈએ, કારણ કે તમે તેના બે અલગ-અલગ મૂલ્યો હોવાના સારા કારણો શોધી શકો છો.
પ્રથમ, ઉપરથી, જો $x \ne 0$, તો $x^0=1$, ભલે ગમે તેટલું નાનું $x$ હોય. જો આપણે ફક્ત $x$ ને શૂન્ય સુધી જવા દઈએ ($x$ શૂન્ય પર જાય તેમ મર્યાદા લો), તો એવું લાગે છે કે $0^0$ 1 હોવું જોઈએ.
બીજી તરફ, $0^a=0$ જ્યાં સુધી $a \ne 0$. $0$ નો પુનરાવર્તિત ગુણાકાર હજુ પણ શૂન્ય આપે છે, અને અમે ઉપરોક્ત નિયમોનો ઉપયોગ $0^a$ હજુ પણ શૂન્ય છે તે બતાવવા માટે કરી શકીએ છીએ, પછી ભલે તે $a$ ગમે તેટલું નાનું હોય, જ્યાં સુધી તે શૂન્ય ન હોય. જો માત્ર $a$ ને શૂન્ય પર જવા દો ($a$ શૂન્ય પર જાય છે તેમ મર્યાદા લો), તો એવું લાગે છે કે $0^0$ 0 હોવું જોઈએ.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણે બિન-શૂન્ય $x$ અને બિન-શૂન્ય $a$ માટે $x^a$ થી શરૂ કરીએ, તો અમે $x$ ને જવા દઈએ કે કેમ તેના આધારે અમને $0^0$ માટે અલગ જવાબ મળશે. શૂન્ય પહેલા અથવા $a$ પહેલા શૂન્ય પર જાઓ. ખરેખર $0^0$ માટે મૂલ્ય નક્કી કરવાનો કોઈ રસ્તો નથી, તેથી અમને તેને અનિશ્ચિત છોડવાની ફરજ પડી છે. તમે આ દલીલને વિઝ્યુઅલાઈઝ કરવા માટે આ એપ્લેટ તપાસી શકો છો.

નકારાત્મક એકની શક્તિ

ઋણ એ ઘાતાંક માટે એક વિશિષ્ટ મૂલ્ય છે, કારણ કે સંખ્યાને ઋણની ઘાત પર લેવાથી તેનો પારસ્પરિક મળે છે:
$$x^{-1} = \frac{1}{x}.$$

ઘાતાંકની બદલાતી નિશાની

સમાન નસમાં, ઘાતાંકની નિશાની બદલવાથી પરસ્પર મળે છે, તેથી
$$x^{-a} = \frac{1}{x^a}.$$

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક

પાવર નિયમ \eqref{power_power} ની શક્તિ અમને અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નિયમ \eqref{power_power} અમને કહે છે કે
\begin{gather*}
9^{1/2}=(3^2)^{1/2} = 3^{2 \cdot 1/2} = 3 ^1 = 3.
\end{gather*}
સંખ્યાને $\frac{1}{2}$ની ઘાત પર લઈ જવાથી સંખ્યાને 2ની ઘાત પર લઈ જવાથી પૂર્વવત્ થાય છે (અથવા તેનો વર્ગ કરો). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, $\frac{1}{2}$ ની ઘાત પર સંખ્યા લેવી એ વર્ગમૂળ લેવા સમાન છે:
\begin{gather*}
x^{1/2} = \sqrt{x} .
\અંત{એકત્ર*}
કારણ કે $(x^n)^{1/n} = x^1 = x$, અમે પરિણામને સામાન્ય બનાવી શકીએ છીએ જેથી કરીને સંખ્યાને $1/n$ ની ઘાત પર લઈ જવાનું $n$th લેવા જેવું જ છે. મૂળ:
\begin{gather}
x^{1/n} = \sqrt[n]{x}.
\અંત{એકત્ર}
જો $a$ કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા હોય, તો તેને $a=m/n$ તરીકે લખી શકાય. અમે $a$th ઘાતમાં સંખ્યાને $m$th ઘાત અને $n$th રુટ પર લઈ જવાની વ્યાખ્યા કરી શકીએ છીએ. અમે માની લઈશું કે આધાર $x$ બિન-ઋણાત્મક છે જેથી આપણે નકારાત્મક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ લેવા જેવી બાબતો કરવાની ચિંતા ન કરવી પડે. પછી, ઓર્ડરથી કોઈ ફરક પડતો નથી અને
\begin{gather*}
x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m.
\end{gather*}
જો $a$ એ અતાર્કિક સંખ્યા છે, જેમ કે $a=\pi$, તો આ પ્રક્રિયા બરાબર કામ કરતી નથી. પરંતુ, કારણ કે તમે કોઈપણ અતાર્કિક સંખ્યાની નજીક ગમે તેટલી નજીકની તર્કસંગત સંખ્યા શોધી શકો છો, તમે અંદાજિત $x^a$ તમને ગમે તેટલું પણ કરી શકો છો. (ચોક્કસ બનવા માટે, તમે $x^b$ ની મર્યાદાના સંદર્ભમાં $x^a$ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો, જ્યાં $b$ એ $a$ની નજીક પહોંચતી તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે.)
10 ની શક્તિઓ એ સંખ્યાઓનો સંદર્ભ આપે છે જેમાં આધાર 10 છે અને ઘાતાંક પૂર્ણાંક છે. ઉદાહરણ તરીકે, 10 ² , 10 ³ , 10 ⁶ 10 ની વિવિધ શક્તિઓ દર્શાવે છે. આ ખ્યાલથી સમજી શકાય છે કે જ્યારે 10 નો ચોક્કસ સંખ્યાનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેને ઘાતાંકના રૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે અને તેને કહેવામાં આવે છે. 10 ની શક્તિઓ. ચાલો આ પૃષ્ઠ પર 10 ની શક્તિઓ વિશે વધુ જાણીએ.

1.	પાવર ઓફ 10 નો અર્થ શું છે?
2.	10 થી 2 ની શક્તિ
3.	10 થી 3 ની શક્તિ
4.	1 ની શક્તિથી 10
5.	10 ચાર્ટની સત્તાઓ
6.	પાવર ઓફ 10 પર વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો

પાવર ઓફ 10 નો અર્થ શું છે?

10 ની શક્તિઓનો અર્થ થાય છે જ્યારે 10 ને અમુક ચોક્કસ સંખ્યામાં ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીને ઉત્પાદનને વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ સંખ્યાઓ કે જે ઘાતાંક તરીકે લખવામાં આવે છે તે 10 ની શક્તિઓ છે. જો આપણે 10 ને બે વાર ગુણાકાર કરીએ તો સંખ્યા લખવી મુશ્કેલ બની જાય છે જેમ કે આ કિસ્સામાં, 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1000000000. હવે, જો આપણે 10 ત્રીસ વખત ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય, તો ઘણા બધા શૂન્ય સાથે ગુણાંક લખવાનું વધુ મુશ્કેલ હશે. તેથી, ઘાતાંક આને સરળતાથી વ્યક્ત કરવામાં મદદ કરે છે અને આ મૂલ્ય (10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1000000000) 10 ⁹ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે . અહીં, 10 એ આધાર છે અને 9 એ ઘાત છે અને આને 10 થી નવમી ઘાત તરીકે વાંચવામાં આવે છે. હવે, ચાલો તેને બીજી રીતે સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે, 10 થી 7મી ઘાત એટલે 10 ⁷ . આનો અર્થ એ છે કે આપણે 10 ને સાત વખત ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, 10 ⁷ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

આને બીજી રીતે સમજાવી શકાય.
10 ની શક્તિઓ 10 ^x સ્વરૂપની છે , જ્યાં x પૂર્ણાંક છે. 10 ^x ને ’10 ની ઘાત’ તરીકે વાંચવામાં આવે છે. જો x ધન છે, તો આપણે 10 ^x ને 10 ને x વખતથી ગુણાકાર કરીને સરળ બનાવીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, 10 ³ = 10 × 10 × 10 (3 વખત) = 1000. જો x ઋણ છે, તો આપણે ઘાતાંકનો ગુણધર્મ લાગુ કરીએ છીએ, a ^-m = 1/a ^m અને પછી આપણે અગાઉ સમજાવ્યા મુજબ સમાન તર્ક લાગુ કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે 10 ^-3 = 1/10 ³ = (1/10) ³ = 1/10 × 1/10 × 1/10 = 1/1000 = 0.001. આ બે ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે 10 ની શક્તિઓની ગણતરી કરવા માટે ખૂબ જ ઉપયોગી બે બાબતોનો નિષ્કર્ષ કાઢી શકીએ છીએ.

• જ્યારે ઘાત ધન હોય છે, ત્યારે 10 ^x = ‘1 પછી શૂન્યની x સંખ્યા’.
  ઉદાહરણ તરીકે, 10 ⁶ = 1,000,000. અહીં, 1 પછી 6 શૂન્ય મૂકવામાં આવ્યા છે કારણ કે 10 ની ઘાત 6 છે.
• જ્યારે પાવર ઋણ હોય, ત્યારે 10 ^-x = ‘0 પોઈન્ટ ત્યારબાદ (x -1) શૂન્યની સંખ્યા અને 1″ પછી.
  ઉદાહરણ તરીકે, 10 ^-6 = 0.000001. અહીં, આપણે દશાંશ બિંદુ (1 પછી) પછી 5 શૂન્ય મૂક્યા કારણ કે ઘાત ઋણ 6 અને 6 — 1 = 5 હતી.

10 થી 2 ની શક્તિ

10 થી 2 ની ઘાતને દસની બીજી ઘાત પણ કહેવાય છે. ^{આ 10 2} તરીકે લખાયેલ છે અને આનો અર્થ એ છે કે 10 બે વાર ગુણાકાર થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, 10 × 10 = 10 ² . અહીં 10 એ આધાર છે અને 2 ઘાતાંક છે. આનું વધુ મૂલ્યાંકન 10 ² = 100 તરીકે કરી શકાય છે.

10 થી 3 ની શક્તિ

10 થી 3 ની ઘાતને દસની ત્રીજી ઘાત કહેવાય છે અને તેને 10 ³ લખવામાં આવે છે . આનો અર્થ છે, 10 × 10 × 10 = 10 ³ . આ અભિવ્યક્તિમાં, 10 થી ત્રીજી ઘાત, 10 એ આધાર છે અને 3 તેની શક્તિ અથવા ઘાત છે. આનું મૂલ્યાંકન 10 ³ = 1000 તરીકે પણ કરી શકાય છે.

1 ની શક્તિથી 10

1 ની ઘાત 10 એટલે દસની પહેલી ઘાત જે 10 ¹ છે . આપણે જાણીએ છીએ કે 1 ની ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એટલે કે તે સંખ્યા જ છે. તો અહીં, 10 ¹ = 10.

10 ચાર્ટની સત્તાઓ

10 ચાર્ટની શક્તિઓ દર્શાવે છે કે 10 ની વિવિધ શક્તિઓ અલગ અલગ મૂલ્યો ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં 10 ^{5 લખીએ, તો તે 10 5} = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 થશે. હવે, દશાંશ સ્વરૂપમાં 10 ⁵ ની કિંમત 100000 થશે. અને જો આપણે તેને લખીએ અપૂર્ણાંકનું સ્વરૂપ તે 100000/1 હશે. તેવી જ રીતે, જો આપણે વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં 10 ^-5 લખીએ, તો તે 10 ^-5 = 1/(10 × 10 × 10 × 10 × 10) હશે. હવે, દશાંશ સ્વરૂપમાં 10 ^{-5 ની કિંમત 0.00001 હશે.} અને જો આપણે તેને અપૂર્ણાંકના રૂપમાં લખીએ તો તે 1/100000 થશે. નીચેનું કોષ્ટક 10 ચાર્ટની શક્તિઓ દર્શાવે છે જેમાં હકારાત્મક શક્તિઓ અને નકારાત્મક શક્તિઓનો સમાવેશ થાય છે.

10 ની હકારાત્મક શક્તિઓ

10 ની શક્તિઓ અમુક ચોક્કસ શક્તિઓ માટે અમુક ચોક્કસ નામો ધરાવે છે (જોકે બધી શક્તિઓ નથી). ઉદાહરણ તરીકે, 10 ⁶ (10 થી 6 ની ઘાત) એ ‘મિલિયન’ તરીકે ઓળખાય છે અને 10 પાવર 6 નો SI ઉપસર્ગ ‘ગીગા’ છે જે SI પ્રતીક G દ્વારા રજૂ થાય છે. તેવી જ રીતે, અમારી પાસે કેટલાક માટે કેટલાક વિશિષ્ટ નામો છે. 10 ની હકારાત્મક શક્તિઓ જે નીચેના કોષ્ટકમાં આપવામાં આવી છે.

10 ની હકારાત્મક શક્તિઓ	નામ	ઉપસર્ગ (પ્રતીક)
10 1 = 10	દસ	ડેકા (D)
10 2 = 100	સો	હેક્ટો (H)
10 3 = 1000	હજાર	કિલો (K)
10 6 = 1,000,000	મિલિયન	મેગા (M)
10 9 = 1,000,000,000	અબજ	ગીગા (જી)
10 12 = 1,000,000,000,000	ટ્રિલિયન	તેરા (T)
10 15 = 1,000,000,000,000,000	ક્વાડ્રિલિયન	પેટા (P)
10 18 = 1,000,000,000,000,000,000	ક્વિન્ટિલિયન	Exa (E)
10 21 = 1,000,000,000,000,000,000,000	સેક્સ્ટિલિયન	Zetta (Z)
10 24 = 1,000,000,000,000,000,000,000,000	સેપ્ટિલિયન	યોટ્ટા (વાય)

10 ની નકારાત્મક શક્તિઓ

10 ની નકારાત્મક શક્તિઓ અલગ રીતે વ્યક્ત થાય છે. આપણે જાણીએ છીએ કે નકારાત્મક શક્તિ (નકારાત્મક ઘાતાંક) ને આધારના ગુણાકાર વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે સંખ્યાના પરસ્પર લખીએ છીએ અને પછી તેને હકારાત્મક ઘાતાંકની જેમ હલ કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, (4/5) ^{-2 (5/4) 2} તરીકે લખી શકાય છે . તેવી જ રીતે, 10 ની નકારાત્મક શક્તિ, જેમ કે 10 ^{-3 , 1/10 3} , અથવા, 1/(10 × 10 × 10) = 1/1000 = 0.001 તરીકે લખી શકાય છે.
જેમ આપણી પાસે 10 ની સકારાત્મક શક્તિઓ માટે કેટલાક વિશિષ્ટ નામો છે, તેવી જ રીતે આપણી પાસે 10 ની કેટલીક નકારાત્મક શક્તિઓ માટે પણ કેટલાક નામ છે. તેમાંથી થોડા નીચેના કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે.

10 ની નકારાત્મક શક્તિઓ	નામ	ઉપસર્ગ (પ્રતીક)
10 -1 = 0.1	દસમું	ડેસી (ડી)
10 -2 = 0.01	સો	સેન્ટી (c)
10 -3 = 0.001	હજારમું	મિલી (મી)
10 -6 = 0.000001	મિલિયનમી	માઇક્રો (μ)
10 -9 = 0.000000001	અબજો	નેનો (n)
10 -12 = 0.000000000001	ટ્રિલિયનમી	પીકો (p)
10 -15 = 0.00000000000001	ચતુર્થાંશ	Femto (f)
10 -18 = 0.000000000000000001	Quintillionth	એટો (એ)
10 -21 = 0.000000000000000000001	સેક્સ્ટિલિયનમી	Zepto (z)
10 -24 = 0.000000000000000000000001	સેપ્ટિલિયનથ	યોક્ટો (વાય)

2 થી 10 ની શક્તિ

એ નોંધવું જોઈએ કે 2 ની ઘાત 10 ની ઘાત 2 ની ઘાત સમાન નથી . 2 થી 10 ની ઘાત એટલે એવી સંખ્યા કે જેમાં 2 આધાર છે અને 10 ઘાત છે. ^{આને 2 10} તરીકે લખવામાં આવે છે અને આનો અર્થ છે કે 2 નો દસ વખત ગુણાકાર થાય છે, એટલે કે, 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024.

10 ની શક્તિઓની ગણતરી

10 ની શક્તિઓના સરવાળા, તફાવત, ઉત્પાદન અને ભાગની ગણતરી કરવા માટે, આપણે પહેલા 10 ની શક્તિઓના મૂલ્યો શોધી શકીએ છીએ અને પછી સંબંધિત કામગીરી કરી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, 10 3/10 ^{2 =} 1000/100 = 10. પરંતુ કેટલીકવાર, જો ઘાતાંક ખૂબ મોટો હોય તો આ પ્રક્રિયા મુશ્કેલ હોય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, નીચેની પ્રક્રિયાઓ મદદ કરશે.

10 ની સત્તાઓ ઉમેરવી અને બાદબાકી કરવી

10 ની શક્તિઓ ઉમેરવા અને બાદ કરવા માટે, અમે 10 ની ન્યૂનતમ શક્તિને સામાન્ય પરિબળ તરીકે લઈએ છીએ અને પછી બાકીનાને સરળ બનાવીએ છીએ. દાખ્લા તરીકે,

• 10 ⁵ + 10 ⁸ = 10 ⁵ (1 + 10 ³ ) = 10 ⁵ (1 + 1000) = 10 ⁵ (1001) = 100,100,000

10 ની શક્તિઓનો ગુણાકાર

10 ની શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવા માટે, અમે ઘાતાંકનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ જે કહે છે a ^m × a ⁿ = a ^{m + n} . આ નિયમ કહે છે કે જ્યારે પાયા સમાન હોય ત્યારે આપણે ઘાતાંક ઉમેરવાની જરૂર છે. આથી, આ નિયમ 10 ની બે અથવા વધુ શક્તિઓને ગુણાકાર કરવા માટે લાગુ કરી શકાય છે. અહીં કેટલાક ઉદાહરણો છે.

• 10 ⁵ × 10 ⁸ = 10 ^{5 + 8} = 10 ¹³
• 10 ^-3 × 10 ⁶ = 10 ^{-3 + 6} = 10 ³

10 ની વિભાજન શક્તિઓ

ઘાતાંકનો એક નિયમ છે, a ^m /a ⁿ = a ^{m — n} . અમે આ નિયમનો ઉપયોગ 10 ની શક્તિઓને વિભાજિત કરવા માટે કરીએ છીએ. આ નિયમ કહે છે કે જ્યારે આધાર સમાન હોય ત્યારે આપણે સત્તાઓને બાદ કરવાની જરૂર છે. અહીં થોડા ઉદાહરણો છે.

• 10 ¹⁷ / 10 ¹⁵ = 10 ^{17 — 15} = 10 ² = 100
• 10 ^-6 / 10 ^-12 = 10 ^{-6 + 12} = 10 ⁶

10 ની શક્તિઓ પર મહત્વપૂર્ણ ટીપ્સ

• 10 ની શક્તિઓ 10 ⁵ અથવા 10 ⁶ જેવી સંખ્યાઓનો સંદર્ભ આપે છે , જ્યાં 10 એ આધાર છે અને 5 અને 6 તેની શક્તિઓ છે.
• 2 થી 10 ની ઘાત એટલે એવી સંખ્યા કે જેમાં 2 એ આધાર છે અને 10 એ ઘાત છે, એટલે કે, 2 ¹⁰ .
• જેમ 2 ની ઘાત 10 નો અર્થ થાય છે 2 ¹⁰ , અન્ય શબ્દસમૂહો જેમ કે 3 ની ઘાત 10 નો અર્થ 3 ¹⁰ , 4 નો ઘાત 10 નો અર્થ 4 ¹⁰ થાય છે . આ 10 ની શક્તિઓ સાથે મૂંઝવણમાં ન હોવી જોઈએ જેનો અમે આ પૃષ્ઠ પર અભ્યાસ કર્યો છે.

☛ સંબંધિત વિષયો

• ઘાતાંકના નિયમો
• ઘાતાંકનો ગુણાકાર
• 10 ને 10 ની શક્તિમાં કેવી રીતે વ્યક્ત કરવું?

પાવર ઓફ 10 પર વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો

ગણિતમાં 10 ની શક્તિઓ શું છે?

10 ની શક્તિઓ એ સંખ્યાઓનો સંદર્ભ આપે છે જેમાં 10 એ આધાર છે અને કોઈપણ પૂર્ણાંક ઘાતાંક છે. ઉદાહરણ તરીકે, 10 ³ , 10 ⁶ , 10 ^-7 એ 10 ની શક્તિઓના થોડા ઉદાહરણો છે.

10 ની ઘાત 10 કેટલી છે?

10 ની ઘાત 10 નો અર્થ થાય છે એક અભિવ્યક્તિ જેમાં 10 એ આધાર છે અને 10 ઘાતાંક છે. ^{આને 10 10} તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે અને આનો અર્થ છે 10 નો 10 વખત ગુણાકાર થાય છે, એટલે કે 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 જે 10000000000 ની બરાબર છે.

0.00001 ને 10 ની ઘાતમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું?

0.00001 ને 10 ની ઘાતમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, પ્રથમ, આપણે આ દશાંશને તેના અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. આનાથી તે 1/100000 થશે. હવે, આ અપૂર્ણાંક ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે જે 1/10 ⁵ હશે . આને ઋણ ઘાત તરીકે વધુ વ્યક્ત કરી શકાય છે,10 ^-5

સંખ્યાને 10ની શક્તિમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવી?

સંખ્યાને 10 ની શક્તિમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, અમે તેને વૈજ્ઞાનિક સંકેતમાં લખીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, 5040000000000000 નંબર લખવો થોડો મુશ્કેલ છે અને જો આપણે તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખીએ જ્યાં આપણે 10 ની શક્તિઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તો તે સરળ રહેશે. તેથી આને 5.04 × 10 ¹⁵ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે . ચાલો જોઈએ કે આ સંખ્યાને પ્રમાણભૂત ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં કેવી રીતે લખવી, નીચેના પગલાંઓનો ઉપયોગ કરીને:

• પગલું 1: આપેલ સંખ્યામાં પાછળના શૂન્યની સંખ્યા ગણો. આપેલ સંખ્યામાં, 5040000000000000, પાછળના શૂન્યની સંખ્યા 13 છે.
• પગલું 2: આપેલ સંખ્યાના શરૂઆતના ભાગનો ઉપયોગ કરો અને ડાબી બાજુથી છેલ્લા બિન-શૂન્ય અંક સુધીના અંકો લખો, ત્યારબાદ 10 ને પાછળના શૂન્યની સંખ્યા જેટલી ઘાતમાં વધારો કરો. આનો અર્થ છે 504 અને 10 ¹³
• પગલું 3: ડાબી બાજુથી પ્રથમ અંક પછી દશાંશ બિંદુ મૂકો અને જે દશાંશ સ્થાનો બનાવવામાં આવ્યા છે તેની સંખ્યાને 10 ની ઘાતમાં ઉમેરો જે લખેલ છે. અહીં, આપણે 5 પછી દશાંશ બિંદુ મૂકીશું, અને તે 5.04 થશે. 5.04 માં 2 દશાંશ સ્થાનો બનાવવામાં આવ્યા હોવાથી, આપણે 10 ની હાલની ઘાતમાં 2 ઉમેરીશું. 10 ની વર્તમાન શક્તિ 13 હતી કારણ કે ત્યાં 13 પાછળના શૂન્ય હતા, પરંતુ હવે તે 15 થશે. આ તેને 5.04 × 10 ¹⁵ બનાવશે . તેથી, 5040000000000000 ને 5.04 × 10 ^{15 તરીકે લખી શકાય.}

10 ની શક્તિ તરીકે 100 કેવી રીતે લખવું?

10 ની ઘાત તરીકે 100 લખવા માટે, આપણે પહેલા 100 માં શૂન્યની સંખ્યા ગણીશું, જે બે છે. આનો અર્થ છે 100 = 10 × 10. તેથી, 10 ની ઘાત તરીકે 100 ને 10 ^{2 તરીકે લખી શકાય.}

10 ની બીજી શક્તિ શું છે?

10 ની બીજી ઘાત 10 ² તરીકે લખી શકાય . આને 2 ની ઘાત 10 તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે અને તે 100 ની બરાબર છે કારણ કે 10 ² = 10 × 10 = 100 છે.

10 ની પ્રથમ શક્તિ શું છે?

10 ની પ્રથમ ઘાત 10 ¹ તરીકે લખવામાં આવે છે . આને 1 ની ઘાત 10 તરીકે પણ વાંચવામાં આવે છે અને આપણે જાણીએ છીએ કે 1 ની ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા પોતે જ સંખ્યા છે, તેથી 10 ¹ = 10.

દશાંશને 10 ની શક્તિઓ દ્વારા કેવી રીતે ગુણાકાર કરવો?

દશાંશને 10 ની શક્તિઓથી ગુણાકાર કરવા માટે, આપણે એક સરળ નિયમ યાદ રાખવાની જરૂર છે. અમે ઉત્પાદનને એવી રીતે વ્યક્ત કરીએ છીએ કે આપણે આપેલ દશાંશ સંખ્યા લખીએ અને 10 ના ઘાતાંક તરીકે આપેલ સંખ્યા અનુસાર દશાંશ બિંદુને જમણી બાજુએ ખસેડીએ. જો 10 નું ઘાત 3 હોય, તો આપણે આપેલ સંખ્યા લખીશું અને ખસેડીશું. સરળતાથી જવાબ મેળવવા માટે જમણી તરફ દશાંશ 3 સ્થાન. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે 46.3 × 10 ⁴ નો ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય, તો આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે 10 નું ઘાતાંક 4 છે, તેથી આપણે દશાંશ બિંદુ 4 સ્થાનોને જમણી તરફ ખસેડીશું. આનો અર્થ છે, 46.3 × 10 ⁴ = 463000.

2 ની ઘાત 10 કેટલી છે?

2 થી 10 ની ઘાતનો અર્થ થાય છે એક અભિવ્યક્તિ જ્યાં 2 એ આધાર છે અને 10 ઘાતાંક છે. ^{આને 2 10} તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે અને તેનો અર્થ એ છે કે 2 નો દસ વખત ગુણાકાર થાય છે, એટલે કે, 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024.

આપેલ સંખ્યાને 10 ની શક્તિ તરીકે કેવી રીતે લખવી?

• આપેલ સંખ્યા (>1) ને 10 ની ઘાત તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે, ફક્ત તેને 10 ⁿ (n હકારાત્મક હોવા) તરીકે લખો જ્યાં ‘n’ એ આપેલ સંખ્યામાં 1 પછી શૂન્યની સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, 10000 = 10 ⁴ .
• આપેલ સંખ્યા (<1) ને 10 ની ઘાત તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે, ફક્ત ‘0 બિંદુ’ પછી અને ‘1’ પહેલાં શૂન્યની સંખ્યા ગણો, પરિણામમાં 1 ઉમેરો અને પછી તે સંખ્યાને નકારાત્મક ચિહ્ન સાથે મૂકો. 10 નો ઘાત. ઉદાહરણ તરીકે, 0.001 = 10 ^-3 (જેમ કે 0 પોઈન્ટ પછી 2 શૂન્ય છે અને 0.001 માં 1 પહેલા).

2 અને 10 ની ઘાત અને 10 અને 2 ની ઘાત વચ્ચે શું તફાવત છે?

2 ની ઘાત 10 = 2 ¹⁰ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1,024 જ્યારે 10 ની ઘાત ² = 10 × 10 = 100 છે. આમ,

• 2 ની ઘાત 10 = 1,024
• 10 ની ઘાત 2 = 100

10 ની શક્તિઓ કેવી રીતે શોધવી?

10 ની શક્તિઓ શોધવા માટે , ઘાતાંક ધન છે કે નકારાત્મક તેના આધારે અમે નીચેના શોર્ટકટનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

• જો ઘાતાંક ધન હોય, તો 10 ⁿ = ‘1 પછી ‘n’ શૂન્ય. ઉદાહરણ તરીકે, 10 ⁴ = 10000.
• જો ઘાતાંક ઋણ હોય, તો 10 ⁿ = ‘0 બિંદુ પછી (n — 1) શૂન્ય અને 1’ પછી. ઉદાહરણ તરીકે, 10 ^-4 = 0.0001.

• મેક કમ્પ્યુટર પર અપડેટ્સ કેવી રીતે તપાસવા અને ઇન્સ્ટોલ કરવા
• વિન્ડોઝ 11 પર ટચપેડ હાવભાવ કેવી રીતે બંધ કરવા
• ચિકન બીમાર છે કે કેમ તે કેવી રીતે કહેવું
• માઓ કેવી રીતે રમવું
• ગોળાકાર ફ્લોરોસન્ટ લાઇટ બલ્બ કેવી રીતે બદલવો
• એક્સેલમાં if પછી ફોર્મ્યુલા કેવી રીતે લખવું